폰 노이만의 게임이론

 

 

폰 노이만(von Neumann, John; 1903-1957)

 

폰노이만은 헝가리의 부다페스트에서 유태인 은행가의 아들로 태어났다. 그는 어렸을 적 수학의 신동이었다고 한다. 무려 6살 때 암산으로 8자리 나눗셈을 할 수 있었으며, 8살에는 미적분 학을 마치고, 12살에는 대학원 수준의 수학을 공부하였다. 그는 17살에 베를린 대학에서 화학을 공부하였으며, 이어서 취리히 대학에서 화공을 공부하였고, 이이서 부다페스트 대학에서 수학을 공부하였다. 아마 요즘 태어났으면 '앗! 세상에 이런 일이' 같은 곳에 출연해서 암산하는 모습을 생중계로 볼 수 있었을 듯 하다. 하긴 옛날에도 TV에 보면 이런 신동들이 많이 나왔고 주변에는 이런 신동들을 모델로 기적의 암산법 같은걸 가르쳐주는 사람들도 많았던 기억이 있다.

 

1926년 그가 23살 때 취리히 대학에서 화공학 박사학위를, 부다페스트 대학에서는 수학 박사학위를 받았다. 그 후 3년 간 그는 주로 수학의 오퍼레이터 이론을 양자론에 적용하는 연구를 하였다. 1930년에 미국으로 이주하여 프린스턴 대학의 교수가 되었다. 1932년 고등 연구소가 설립되자 수학분야의 6명 전임교수중 한 사람이 되었다. 그 6명 중에는 아인슈타인도 들어있었다고 한다. 상대성이론을 만든 아인슈타인이 핵폭탄 개발에 관여할 때 폰노이만은 지상 몇 미터에서 폭탄이 터지면 가장 효과적으로 피해를 주는지 계산했단다. 그래서 나온 답이 지상 550미터였고 히로시마에 터진 원자폭탄은 정확히 지상 550미터에서 터졌다나...

 

폰노이만은 제2차 세계대전 중에 드디어 그 유명한 폰노이만 기계(초창기 컴퓨터)를 제작한다. 이때부터의 컴퓨터는 계산만을 목적으로 한 컴퓨터라는 의미보다는 EDPS(음담패설의 약자)가 아니고 Electronic Data Processing System 즉 전자 자료 처리 시스템)라고 불리는 것이 더 정확하지만 대부분 다들 컴퓨터라고 부른다. 이게 더 쉬운가보다. 현대식 컴퓨터의 기본이 된 폰노이만 기계의 원리는 어렵지 않다. 컴퓨터에 관한 수업을 들었다면 대부분 알 것이고 혹은 몰라고 사람의 두뇌구조와 거의 비슷하기 때문이다. 입력장치, 연산장치, 제어장치, 출력장치로 이루어진 현대식 컴퓨터,펜티엄4가 나오는 등의 난리가 난 지금의 상황에서도 이 기본적인 이론은 변하지 않았다. 다만 조금씩 진화하고 있는 것뿐이라는 것이다. 사실 뭐 이것은 인간의 두뇌구조에서 따오긴 했지만 궁극의 목적은 전쟁을 위해서였다. 알다시피 인터넷도 사실은 전쟁을 위해 태어난 것이 아닌가 말이다. 암튼 이 양반은 현대식 컴퓨터의 기초를 만들기도 했지만 가장 주목해야 하는 것은 바로 이 양반의 두 번째 성과물인 게임이론 이라는 것이다.

 

게임이론 역시 당근 독일과 전쟁 중이었던 미국이 어떻게 하면 독일과 이길 수 있을까? 이걸 수학적으로 어케 시뮬레이트 해볼 방법은 없을까  머 이런 생각에서 생겨났다고 해도 과언이 아닌데, 현대의 워 게임의 시초라고 볼 수 있겠다. 어째서 위대한 발명은 대부분 전쟁 때문일까? 게임이론은 어렵고 복잡하기로 유명한데 그 가장 좋은 예가 되는 용의자의 딜레마를 보면 좀 이해가 될지도...

 

죄수의 딜레마

두 명의 공범 용의자가 체포됐다. 이들이 범죄를 저질렀다는 심증은 있지만 결정적인 물증이 없었다. 순순히 자백을 받기 위해 담당형사는 마침내 두 명의 용의자 A와 B를 각각 다른 방에 두고 취조를 하면서 다음과 같이 제안했다. 1)만일 네가 자백하면 최대한 정상 참작해 너는 징역 1년으로 해주겠다. 2)네가 자백하지 않고 네 동료가 자백하면 네가 모든 죄를 뒤집어쓰고 징역 10년을 살게 될 것이다. 3)너와 네 동료 모두 자백을 하면 징역 5년이 된다. 4)만일 둘 모두 굳게 입을 다물고 범죄사실을 부인하면 증거 불충분으로 풀려날 것이다. 이 두 명의 용의자는 과연 어떤 선택을 했을까? 최선의 선택은 A와 B 둘 모두 입을 굳게 다물어 풀려나는 것이다. 그러나 과연 그렇게 됐을까? 결과는 둘 모두 자백하면서 5년의 형을 살게 된다. A의 입장에서 보자. B를 믿을 수 없는 상황에서 혼자 침묵하고 있다가는 자칫 죄를 뒤집어쓰게 될 위험이 따른다. 자백하면 1년으로 징역이 줄어든다는 유혹도 따른다. 가장 큰 위험을 피하는 것이 모험을 선택하는 것보다는 낫지 않을까. A로선 B가 자백을 하건 부인을 하건 상관없이 자백을 선택하는 것이 최선의 선택이었던 것이다. 이점은 B도 마찬가지여서 결국 둘 다 자백하면서 좋지 못한 결과를 낳게 된 것이다. 이 죄수의 딜레마(Prisoner's Dilemma) 모형은 개인의 합리적인 선택이 사회 전체적으로는 비합리적인 결과로 이어지는 상황을 잘 보여준다. 국가 간의 군비경쟁이나 정치 선거에서도 이러한 게임 구도를 종종 살펴 볼 수 있다.

 

3인결투

 

게임이론이 응용된 대표적인 예가 3인 결투이다. A, B, C 세 사람이 결투를 하게되었다. 세 사람이 모두 총을 한 자루씩 들고 세 사람 중 한사람만 살아남을 때까지 돌아가며 총을 쏘기로 하였다. 그런데 C는 총을 매우 잘 쏘아 명중률이 100%였다. B는 C보다는 못 쏘지만 그래도 2/3의 명중률을 갖고 있었다. A는 세 사람 중에 총을 제일 못 쏜다. 그의 명중률은 1/3이었다. 공정한 결투를 위해 명중률이 낮은 사람부터 먼저 한발씩 쏘기로 하였다. 먼저 A가 쏘고, 다음으로 B가 쏘고 마지막으로 C가 쏘기로 하였다. 단 한 사람만이 살아남을 때까지 이런 순서로 계속 돌아가며 쏘기로 한 것이다.
 

그렇다면 제일 먼저 쏘기로 한 A는 과연 어떤 전술로써 이 결투에 임해야 하는가? 명중률이 제일 낮은 그는 누구를 먼저 쏘아야 하는가?

 

1) A가 B를 쏘아 명중시킨다면 그는 최악의 선택을 한 것이다. 다음 쏘게될 C는 명중률 100%를 자랑하며 A를 겨누게 될 것이기 때문이다.
2) A가 C를 쏘아 명중시킨다면 어떻게 될까? 그는 2/3의 명중률을 가진 B의 총구를 맞이하게 될 것이다.
3) 명중률이 제일 낮은 A로서 최선의 선택은 누구도 명중시키지 않는 것이다. 확실하게 명중시키지 않으려면 허공에 대고 쏘면 된다.

이렇게 했을 때 결과를 따져보자. 다음 차례인 B는 C를 쏘아야 한다. 그렇지 않고 A를 쏘아 명중시킨다면 그 역시 100% 명중률을 가진 C의 총구를 맞이하게 되기 때문이다. B가 C를 쏘아 명중시켰다면 다음은 A차례이다. 그는 이제 명중률은 낮지만 그가 쏘는 위치에 있게 된다. B가 C를 쏘았지만 맞추지 못할 경우에 C의 차례이다. 그에게는 A보다 B가 더 위험한 존재이기 때문에 B를 쏘게 된다. C는 100% 명중률이기 때문에 B는 죽은 목숨이다. 이제 다시 A에게 C를 쏠 기회가 주어진다. A가 허공에 쏜다면 그는 어떤 경우라도 그에게는 총구를 맞이하는 것이 아닌 총구를 겨눌 위치에 서기 때문에 최선의 선택을 한 것이다.

 

위의 예에서 B와 C 모두 자신의 상황에 최선의 선택을 할 것을 가정하고 A의 전술을 세웠다. B 또는 C가 어리석은 선택을 한다면 이 전술은 통하지 않게 된다.

 

겁쟁이게임(치킨게임)

 

두 대의 차를 몰고 낭떠러지를 향해 나란히 달리거나 또는 두 차가 마주보고 달리다 마지막 순간 운전자가 밖으로 뛰어내리는 건달들의 담력시험 경기를 속칭 치킨게임(겁쟁이경기)이라고 한다. 먼저 내리는 쪽이 겁쟁이로 몰리기 때문에 서로 상대방이 굴복하기를 기대하면서 위험을 감수하다 죽음을 맞기도 한다. 상대의 양보를 기다리며 갈 때까지 가다가 파국으로 끝내기 십상인 게임 행태가 국가 사이에도 그대로 적용되는 사례가 많아 이제는 국제정치학 용어로 당당히 자리 잡았다. 하지만 한가지 알아두면 된다. 폰노이만이 생각한 게임이론은 바로 사람의 인생에서 모티브를 따온 것이다. 즉, 인생이 바로 게임이라는 것이다. 사람은 기본적으로 합리적이라는 것이 진리이고, 합리적으로 판단할 때 모든 것이 이루어진다고 보겠지만 오히려 그 합리적이라고 생각한 판단이 더 나쁜 영향을 가져다 줄 수도 있다는 것이다. 아까 총 쏘기 경우에서도 인간이 일단 스스로 살아남기 위해 노력한다는 점에서 시작된다. ABC 모두가 총을 허공에 쏘면 아무 일도 벌어지지 않는다. 평화가 이어지는 것이다. 하지만 그들은 모두가 상대방이 허공에 총을 쏠 것이라고는 절대 생각하지 않는다. 그렇기 때문에 내가 살아남기 위해서는 누군가를 쏘아야만 한다.

 

여기서 게임이 시작되는 것이다. 가령 고스톱을 칠 때 기본점수를 획득하고, 거기서 스톱을 하면 될걸 더 나은 점수를 노리기 위해 고를 불렀다가 독박을 쓰게 된다. 하지만 당신이라도, 찬스라고 생각할 때 스톱을 외치지는 않을 것이다. 그리고 상대방이 고를 외치고 더 많은 수익을 내는걸 원하지 않을 것이다. 스타크래프트 도중 저글링 개떼로 승부를 볼 수 있는걸 좀 더 멋진 승부를 위해 러커를 뽑으려 하다가 상대방의 기본유닛에 무참히 개박살 나는 경우 등을 예라고 할 수 있겠다. 상대방을 이기고 싶어하는 성질, 인간은 욕심이 많으니까. 사실 스타크래프트의 경우도 둘 다 경기를 하지 않으면 아무 문제없지만, 꼭 상대를 이겨야한다는 당위성이 발동되면, 어쩔 수 없이 상대를 앞서기 위해 고급유닛을 뽑게 되고 상대 역시 그 고급유닛에 대항하기 위해 더 많은 유닛을 뽑게된다. 즉 상대방도 나와 같이 전략을 구사한다는 점이다. 결국은 이로 인해 유닛의 피해는 점차 커지게 되고 게임 시간으로 인한 전기세와 피시방 요금, 그리고 의자에 앉아있는 시간은 더더욱 늘어나 건강에 악영향을 끼치는 등 피해는 점점 커지게 되는 것이다.

 

암튼 이 게임 이론은 폰노이만이 제창하고 그 유명한 영화 뷰티풀 마인드의 주인공이었던 러셀크로우...아니 존 내쉬라는 또 하나의 천재수학자를 통해 내쉬이론, 즉 균형이론으로 이어져 완성되기에 이른다.